Question

3．已知数列{a_n}是递增的等比数列，a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用对数的运算性质，化简b_n，再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到．

解答 解法一：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_4}=9\\{a_2}{a_3}=8\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_1}{q^3}=9\\{a_1}^2{q^3}=8\end{array}\right.$，
消q³得${a_1}+\frac{8}{a_1}=9$，解得a₁=1或a₁=8，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∵{a_n}是递增数列，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，
∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$；
（Ⅱ）${b_n}={2^{n-1}}{log_2}{2^{n-1}}=（n-1）•{2^{n-1}}$，
${T_n}=0•{2^0}+1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}$，
2T_n=0•2¹+1•2²+2•2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
∴相减可得，$-{T_n}={2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-（n-1）•{2^n}$=$\frac{{2-{2^n}}}{1-2}-（n-1）•{2^n}$
=（2-n）•2ⁿ-2，
∴${T_n}=（n-2）•{2^n}+2$．
解法二：（Ⅰ）因为{a_n}是等比数列，a₂a₃=8，所以a₁a₄=8．
又∵a₁+a₄=9，∴a₁，a₄是方程x²-9x+8=0的两根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_4}=8\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=8\\{a_4}=1\end{array}\right.$．
∵{a_n}是递增数列，∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\{a_4}=8\end{array}\right.$．
∴${q^3}=\frac{a_4}{a_1}=8$，∴q=2．∴${a_n}={a_1}{q^{n-1}}={2^{n-1}}$．
（Ⅱ）下同解法一．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程的思想，考查数列的求和方法：错位相减求和，考查运算能力，属于中档题．