【题目】已知函数,,.
(1)若函数存在零点,求的取值范围;
(2)已知函数,若在区间上既有最大值又有最小值,求实数的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
(1)先由求得,,由基本不等式求出的值域,根据题意,只需在的值域范围内即可;
(2)先由题意,得到要使在区间上有最大值,则必须在上取得最大值,列出不等式,求出,判断出,从而得到要使在区间上存在最小值,必须有,进一步求得,令,此时 ,根据,得出,判断出函数单调性,从而可得出结果.
(1)令,即,解得:,,
又,当时,,
当且仅当,即时,等号成立;
当时,;
当且仅当,即时,等号成立;
所以;
要使函数存在零点,只需或
即或
(2)由(1)知:函数在区间有最小值,无最大值;
而二次函数在对称轴处取得最大值;
因此要使在区间上有最大值,则必须在上取得最大值,
因此,即,解得;
当时,,
所以要使在区间上存在最小值,必须有,
即,解得;
当时,,,
令,有,此时;
又由得,,
在上存在,使,
在上递增,上递减,上递增;
在上单调递减,;
在区间有最大值,最小值;
即当时,在区间上既有最大值又有最小值.
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【题目】某班教室桌椅6排7列,有40名同学.空出最后一排的某两个位置,其余人按身高和视力排座位.班中有24人身高高,有18人视力好,其中,有6名同学同时具备此两个条件.已知若一名同学个子矮视力又不好,则他必须坐在前三排;若一名同学个子高视力又好,则他必须坐在最后三排.设排座位的方法是,则的质因数分解中的2的次数是______.
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【题目】我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献,广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动,活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查,其中关于4项子活动的赞同情况统计如下:
班级代码 | A | B | C | D | E | 合计 |
4项子活动全部赞同的人数 | 3 | 4 | 8 | 3 | 2 | 20 |
4项子活动不全部赞同的人数 | 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 5 |
合计问卷调查人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 | 25 |
现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研,每项子活动采访1名学生.
(1)若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访,求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率;
(2)若从A班和E班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象,记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
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【题目】如果不是等差数列,但若,使得,那么称为“局部等差”数列.已知数列的项数为4,记事件:集合,事件:为“局部等差”数列,则条件概率( )
A. B. C. D.
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【题目】某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为________.
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【题目】有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔,今有甲,乙,丙,丁四位老师在猜谁将获得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜是1号,2号,4号中的一个;丁猜2号,3号,4号都不可能,若以上四位老师只有一位猜对,则猜对者是___________(填甲、乙、丙、丁)
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