Question

16．已知等差数列{a_n}前n项和为S_n，且S_n=n²．
（1）求通项公式a_n；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，利用S_n=n²，可得a₁=S₁=1，a₁+a₂=4，解出即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵S_n=n²，∴a₁=S₁=1，a₁+a₂=2²=4，解得a₁=1，a₂=3．
∴d=a₂-a₁=2，∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．