Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

) (n=2，3，…)，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，a2=

2t+3

3t

=

a2

a1

，又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）两式相减，得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，由此能够证明数列{a_n}为等比数列．
（Ⅱ）由f(t)=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，得bn=f(

1

bn-1

)=

2

3

+bn-1，所以bn=

2n+1

3

，由此能求出（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n之和．

解答：解：（Ⅰ）由S₁=a₁=1，S₂=1+a₂，得3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，∴a2=

2t+3

3t

=

a2

a1

又3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n-1-（2t+3）S_n-2=3t（n=3，4，）两式相减，
得：3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

（n=3，4，）
综上，数列{a_n}为首项为1，公比为

2t+3

3t

的等比数列
（Ⅱ）由f(t)=

2t+3

3t

=

2

3

+

1

t

，得bn=f(

1

bn-1

)=

2

3

+bn-1，
所以{b_n}是首项为1，，公差为

2

3

的等差数列，bn=

2n+1

3

b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1=（b₁-b₃）b₂+（b₃-b₅）b₄+…+（b_2n-1-b_2n+1）b_2n=-

4

3

(b2+b4+…+b2n)=-

4

3

•

n

2

(

5

3

+

4n+1

3

)=-

4

9

(2n2+3n)

点评：第（Ⅰ）题考查等比数列的证明方法，证明过程中要注意迭代法的合理运用；第（Ⅱ）题考查数列前n项和的计算，解题时要注意合理地进行等价转化．