Question

【题目】已知函数.

（1）当，时，求函数在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）在（1）的条件下，证明：（其中为自然对数的底数）

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）对函数，求导，根据，，即可求出与，从而可求出函数在处的切线方程；（2）当时，根据函数的导数，再通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（3）在（1）的条件下，问题可转化为证明，设，问题可转化为，恒成立，根据函数的单调性证明即可.

试题解析：（1）

∵

∴

∴

当

∴

当

，令，令

∴单调增区间为，单调减区间为

同理，当时，单调增区间为，无减区间，当时, 单调增区间为，单调减区间为.

⑶当，时，要证，只需证.

，则，

∴在上单调递增

又∵

∴存在唯一当实数使得

∴

∴

∴不等式得证