Question

已知集合A＝(a₁，a₂，…a_n)中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，有．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)求证：n≤9；

(Ⅲ)对于n＝9，试给出一个满足条件的集合A．

Answer 1

答案：
解析：

　　(Ⅰ)证明：依题意有，又，

　　因此．

　　可得．

　　所以．

　　即　　4分

　　(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得．

　　又，可得，因此．

　　同理，可知．

　　又，可得，

　　所以均成立．

　　当时，取，则，

　　可知．

　　又当时，．

　　所以　　8分

　　(Ⅲ)解：对于任意，，

　　由可知，

　　，即．

　　因此，只需对，成立即可．

　　因为；；；，

　　因此可设；；；；．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　由，可得，取．

　　所以满足条件的一个集合　　12分

　　其它解法，请酌情给分．