Question

（2012•开封二模）甲乙两个学校高三年级分别有1100人，1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两个学校一共抽取了105名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下，规定考试成绩[120，150]内为优秀，

甲校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	2	3	10	15
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	15	10	y	3

乙校：

分组	[70，80）	[80，90）	[90，100）	[100，110）
频数	1	2	9	8
分组	[110，120）	[120，130）	[130，140）	[140，150]
频数	10	10	y	3

（1）计算x，y的值；
（2）由以上统计数据填写右面2×2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异．
（3）根据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中任取3人，求优秀学生人数ξ的分布列和数学期望．

	甲校	乙校	总计
优秀
非优秀
总计

附：k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（K2＞K）	0.10	0.025	0.010
K2	2.706	5.024	6.635

Answer 1

分析：（1）根据条件知道从甲校和乙校各自抽取的人数，做出频率分布表中的未知数；
（2）根据所给的条件写出列联表，根据列联表做出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异；
（3）确定ξ的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望．

解答：解：（1）由分层抽样知，甲校抽取了105×

1100

2100

=55人成绩，乙校抽取了105×

1100

2100

=50人成绩
∴x=6，y=7；
（2）2×2列联表如下：

	甲校	乙校	总计
优秀	10	20	30
非优秀	45	30	75
总计	55	50	105

∵K²=

105×(10×30-20×45)2

30×75×50×55

≈6.109＞5.024，
∴有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异；
（3）甲校优秀率为

2

11

，乙校优秀率为

2

5

ξ=0，1，2，3，ξ～B（3，

2

5

）
P（ξ=0）=

C

0 3

(

2

5

)0(1-

2

5

)3=

27

125

；P（ξ=1）=

C

1 3

(

2

5

)1(1-

2

5

)2=

54

125

；
P（ξ=2）=

C

2 3

(

2

5

)2(1-

2

5

)1=

36

125

；P（ξ=3）=

C

3 3

(

2

5

)3(1-

2

5

)0=

8

125

，
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

Eξ=3×

2

5

=

6

5

点评：本题主要考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列与期望，解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，属于中档题．