Question

下列四个命题：
①函数f（x）在x＞0时是增函数，x＜0也是增函数，所以f（x）是增函数；
②已知函数f（x）=log₃x+2，（x∈[1，9]，则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是13；
③y=x²-2|x|-3的递增区间为[1，+∞）；
④已知函数f（x）满足：当x≥3时，；当x＜3时，f（x）=f（x+1），则f（1+log₃4）的值是．
其中正确命题是 ________．

Answer 1

③④
分析：①此命题是假命题，举反例说明命题错误；
②由3大于1得到对数函数为增函数，求出y的最大值即可判断真假；
③讨论x的正负化简绝对值，然后利用二次函数的图象找出函数的增区间即可判断此命题的真假；
④根据函数的递推式得到x=1+log₃4小于3时代入f（x）=f（x+1），得到2+log₃4大于3即可代入，求出值即可判断．
解答：①举一个例子y=-，当x＜0时，函数为增函数，当x＞0时，函数为增函数，但是在x≠0时，函数不单调，所以错误；
②由x∈[1，9]，又f（x）=log₃x+2，所以y=[f（x）]²+f（x²）=[log₃x+2]²++2，根据3＞1得到对数函数log₃^x为增函数，所以分别当x=9时log₃^x和达到最大即y取最大．则y最大=（log₃⁹+2）²+log₃⁸¹+2=22，所以此命题错；
③当x＞0时，y=x²-2x-3，为对称轴为直线x=1的开口向上的抛物线，所以[1，+∞）为函数的增区间；当x＜0时，y=x²+2x-3，为对称轴为直线x=-1的开口向上的抛物线，所以（-1，+∞）为增区间，综上，函数y的增区间为[1，+∞），正确；
④因为1+log₃4＜3，所以f（1+log₃4）=f（1+1+log₃4），而2+log₃4＞3，所以f（2+log₃4）==×=，命题正确．
所以正确命题的序号是③④
故答案为：③④
点评：此题是一道综合题，要求学生掌握二次函数和对数函数的增减性，灵活运用对数函数的运算性质，会利用举反例的方法说明一个命题是假命题．