Question

已知函数f（x）=cos

3

2

x，f（x）=a在区间（

π

3

，2π）上恰有三个不同的实数根，且三个实数根从小到大依次成等比数列，则这三个实数根之和为（　　）

• A、

  14π

  3

• B、

  14π

  9

• C、

  28π

  3

• D、

  28π

  9

Answer 1

考点：余弦函数的图象

专题：等差数列与等比数列,三角函数的图像与性质

分析：作出函数y=cos

3

2

x的图象和直线y=a，得两个图象在（

π

3

，2π）上有三个交点A、B、C，满足A、B关于x=

2π

3

对称且B、C关于x=

4π

3

对称，结合三个根从小到大依次成等比数列列出横坐标x₁、x₂、x₃的方程组，解之可得x₂的值，从而，x₁=

4π

9

，x₂=

8π

9

，x₃=

16π

9

，得三个实数根之和为

28π

9

．

解答： 解：同一坐标系中作出y=cosx和y=a的图象，
设两个图象在（

π

3

，2π）上有三个交点A、B、C，则A、B、C的
横坐标分别对应方程f（x）=a的三个根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根据余弦函数图象的对称性，得

x1+x2

2

=

2π

3

，得x₁+x₂=

4π

3

且

x2+x3

2

=

4π

3

，x₂+x₃=

8π

3

∵三个根从小到大依次成等比数列，即x₂²=x₁x₃，
∴x₂²=（

4π

3

-x₂）（

8π

3

-x₂），解之得x₂=

8π

9

，
因此，x₁=

4π

9

，x₂=

8π

9

，x₃=

16π

9

，得三个实数根之和为

28π

9

．
故选：D．

点评：本题给出余弦曲线上三个点构成两组对称的点，着重考查了等比数列的性质和余弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．