Question

7．求证：$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N^*）

Answer 1

分析 运用分析法证明不等式，结合两边平方，即可得证．

解答 证明：要证$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N^*），
即证（$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$）²＜（$\sqrt{4n+2}$）²（n∈N^*）
即有2n+1+2$\sqrt{{n}^{2}+n}$＜4n+2，
即为2$\sqrt{{n}^{2}+n}$＜2n+1，
即有4n²+4n＜4n²+4n+4，
即有0＜4成立．
则$\sqrt{n}$+$\sqrt{n+1}$＜$\sqrt{4n+2}$（n∈N^*）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查推理能力，属于基础题．