Question

（2010•成都模拟）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常函数，有以下命题：
①函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数；
③若f（x）是奇函数，且对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象关于直线x=1对称；
④对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，若

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0恒成立，则f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
其中正确命题的序号是

①③④

．

Answer 1

分析：①根据偶函数定义可得g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①可判断；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，可得f（x+2）=-f（-x），故②错误；
③由对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，可知f（2+x）=-f（x），根据f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x），从而可判断f（x）的图象关于直线x=1对称；
④利用函数单调性的定义，结合

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，可知函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

解答：解：①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2为周期的周期函数，故②错误；
③∵对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的图象关于直线x=1对称；
④设任意x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，
∵

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

点评：本题以函数为载体，主要考查函数的奇偶性，周期性，对称性及函数的单调性，解题时应一一判断．