Question

8．已知m＞1且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0，4]．
（1）求m的值；
（2）若a，b均为正实数，且满足a+b=m，求a²+b²的最小值．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，求出解集，利用解集为[0，4]，求m的值；
（2）利用柯西不等式，即可求a²+b²的最小值．

解答 解：（1）∵不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1，m＞1．…（1分）
∴1-m≤x-2≤m-1，即3-m≤x≤m+1，…（2分）
∵其解集为[0，4]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-m=0}\\{m+1=4}\end{array}\right.$，
∴m=3．…（5分）
（2）由（Ⅰ）知a+b=3，
∵（a²+b²）（1²+1²）≥（a×1+b×1）²=（a+b）²=9，
∴a²+b²≥$\frac{9}{2}$，
∴a²+b²的最小值为$\frac{9}{2}$．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法，考查柯西不等式，正确运用柯西不等式是关键．