Question

若随机变量ξ服从几何分布，且p（ξ=k）=g（k，p）（0＜p＜1），试写出随机变量ξ的期望公式，并给出证明．

Answer 1

证明：如下表
ξ 1 2 3 4 …k …
P p qp q²p q³p …q^k-1p …
则Eξ=p+2qp+3q²p+…+kq^k-1p+…
=p（1+2q+3q²+…+kq^k-1+…）
令T=1+2q+3q²+4q³ …+kq^k-1+（k+1）q^k +…①
则qT=q+2q²+3q³+…+（k-1）q^k-1+kq^k+…②
①-②T-qT=q0+q1+q2+q3+…+qk-1+q^k +…
=
即T== （n→∞）
则Eξ= （n→∞）
∴当n→∞时，Eξ=
分析：根据变量符合几何分布，写出各个变量对应的概率，表示出期望的表达式，利用数列中的错位相减得到数列的前n项和，根据n是一个趋近于无穷的数字，利用极限的思想得到结果．
点评：本题看出几何分布的期望值的推导，本题解题的关键是利用数列的求和的方法来写出期望的表示式，本题是一个中档题目．