Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若$\overrightarrow{m}$=（sinA，sinB），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinC），$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1-cos2B．
（1）求证：a，b，c成等差数列；  
（2）若C=$\frac{2π}{3}$，求$\frac{a}{b}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运算及二倍角公式可得：$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B=2{sin^2}B$，结合sinB≠0及正弦定理即可得证．
（2）由（1）可得：c=2b-a，又C=$\frac{2π}{3}$，代入余弦定理即可求得$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：（1）证明：$\overrightarrow m•\overrightarrow n=sinAsinB+sinBsinC=1-cos2B=2{sin^2}B$
∵sinB≠0
∴sinA+sinC=2sinB
∴由正弦定理可得：a+c=2b-----------------（6分）
（2）∵由（1）可得：c=2b-a，又C=$\frac{2π}{3}$，
∴${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC⇒{（2b-a）^2}={a^2}+{b^2}+ab⇒\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$-----------（12分）

点评 本题本题主要考查了平面向量数量积的运算，余弦定理，正弦定理，二倍角公式等知识的应用，属于基本知识的考查．