Question

若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（　　）

• A、2：1
• B、3：1
• C、4：1
• D、5：1

Answer 1

分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为2R₁，当球外接正三棱柱时，球心是正三棱柱上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．

解答：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，
当球内切于正三棱柱时，球的半径R₁等于正三棱柱的底面正三角形的边心距

3

6

a，故正三棱柱的高为2×

3

6

a=

3

3

a，
当球外接正三棱柱时，球心是上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，R22=(

3

6

a)2+(

3

3

a)2，
∴R₂=

15

6

a
∴外接球与内切球半径之比为R₁：R₂=

15

6

a：

3

6

a=

5

：1．
∴外接球与内切球表面积之比为5：1
故选D．

点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是解决本题的关键所在．