Question

【题目】已知函数f（x）=ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]．
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求实数a的取值范围；
（3）若曲线y=f（x）存在两条互相垂直的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=1时，f（x）=ex（x2﹣3），

则f′（x）=ex（x2+2x﹣3），

令f′（x）＞0得x＞1或x＜﹣3；令f′（x）＜0得﹣3＜x＜1．

∴函数f（x）的单调增区间（﹣∞，﹣3）与（1，+∞），单调递减区间是（﹣3，1）

（2）解：f（x）≤ea，即ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]≤ea，可变为x2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x，

令r（x）=x2+（a+1）x+2a﹣1，t（x）=ea﹣x，

当a＞0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为负，

故r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，

欲使x2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x有解，

则只须r（a）≤t（a），即2a2+3a﹣1≤1，

解得﹣2≤a≤ ，故0＜a≤ ；

当a≤0时，在[a，+∞）上，由于r（x）的对称轴为x=﹣ ，

故当﹣ ＜a≤0时，r（x）在[a，+∞）上增，t（x）在[a，+∞）上减，

则r（a）≤t（a），即2a2+3a﹣1≤1，解得﹣2≤a≤ ，

故﹣ ＜a≤0成立；

当a≤﹣ 时，r（x）在[a，+∞）上先减后增，t（x）在[a，+∞）上减，

欲使x2+（a+1）x+2a﹣1≤ea﹣x有解，只须r（﹣ ）≤t（﹣ ），

即 ≤e ，

当a≤0时，显然成立．

综上知，﹣ ＜a≤ 即为符合条件的实数a的取值范围

（3）解：由f（x）的导数f′（x）=ex[x2+（a+3）x+3a]=ex（x+3）（x+a），

当a≠﹣3时，函数y=f′（x）的图象与x轴有两个交点，

故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．

则a的取值范围是{a|a≠﹣3，a∈R}

【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex（x2﹣3），求出其导数，利用导数即可解出单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即ex[x2+（a+1）x+2a﹣1]≤ea ， 在[a，+∞）上有解，构造两个函数r（x）=x2+（a+1）x+2a﹣1，t（x）=ea﹣x ， 研究两个函数的在[a，+∞）上的单调性，即可转化出关于a的不等式，从而求得a的范围；（3）由f（x）的导数f′（x）=ex（x+3）（x+a），当a≠﹣3时，函数y=f′（x）的图象与x轴有两个交点，故f（x）图象上存在两条互相垂直的切线．
【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．