Question

12．（1）证明不等式$\frac{x}{1+x}$＜ln（1+x）＜x，x＞0
（2）在数列{a_n}中．已知a₁=$\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}-n-1}$，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析 （1）设$ϕ（x）=ln（x+1）-\frac{x}{1+x}，x∈[0，+∞）$，得：$ϕ'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{x}{{{{（1+x）}^2}}}$，由此能够证明$\frac{x}{1+x}＜ln（x+1）$＜x．
（2）利用取倒数法，以及累加法进行求解即可．

解答 解：（1）设$ϕ（x）=ln（x+1）-\frac{x}{1+x}，x∈[0，+∞）$
对ϕ（x）求导，得：$ϕ'（x）=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{{{{（1+x）}^2}}}=\frac{x}{{{{（1+x）}^2}}}$
当x＞0时，ϕ′（x）＞0，
∴ϕ（x）在（0，+∞）内是增函数．
当x＞0时，ϕ（x）＞ϕ（0）=0，
即$ln（x+1）-\frac{x}{1+x}＞0$，
∴$\frac{x}{1+x}＜ln（x+1）$
同理可证ln（x+1）＜x，
∴$\frac{x}{1+x}＜ln（x+1）$＜x．
（2）$\frac{{a}_{n}{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}-{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{{n}^{2}-n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n-1+1}{{n}^{2}-n-1}$=$\frac{{n}^{2}-n}{{n}^{2}-n-1}$，
等式两边取倒数得$\frac{{a}_{n-1}-{a}_{n}}{{a}_{n}{a}_{n-1}}$=$\frac{{n}^{2}-n-1}{{n}^{2}-n}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{{n}^{2}-n}$=1-$\frac{1}{n（n-1）}$=1-（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=1-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$，
则当n≥2时，$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=1-1+$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{{a}_{3}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{{a}_{4}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$=1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$，
…
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1-$\frac{1}{n-1}$+$\frac{1}{n}$，
等式两边同时相加得
$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{1}}$=n-1-1+$\frac{1}{n}$=n-1+$\frac{1}{n}$，
即$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+n-1+$\frac{1}{n}$=2+n-1+$\frac{1}{n}$=n+1+$\frac{1}{n}$=$\frac{{n}^{2}+n+1}{n}$，
即a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+n+1}$，
当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$不满足a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+n+1}$，
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}，}&{n=1}\\{\frac{n}{{n}^{2}+n+1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查不等式的证明，考查推理论证能力，考查运算推导能力，考查等价转化思想，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的综合应用．