Question

14．在一个有穷数列每相邻两项之间添加一项，使其等于两相邻项的和，我们把这样的操作叫做该数列的一次“H扩展”．已知数列1，2．第一次“H扩展”后得到1，3，2；第二次“H扩展”后得到1，4，3，5，2．那么第10次“H扩展”后得到的数列的项数为（　　）

• A． 1023
• B． 1025
• C． 513
• D． 511

Answer 1

分析 化简可得$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=2，从而可得{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，从而解得．

解答 解：设第n次“H扩展”后得到的数列的项数为a_n，
则第n+1次“H扩展”后得到的数列的项数为a_n+1=2a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=2，
又∵a₁-1=3-1=2，
∴{a_n-1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a_n-1=2•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ+1，
∴a₁₀=2¹⁰+1=1025；
故选B．

点评 本题考查了等比数列的性质的判断与应用，关键在于构造等比数列．