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精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M、N分别是CC1、BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足
A1P
A1B1
(λ∈R)

(1)证明:PN⊥AM;
(2)若平面PMN与平面ABC所成的角为45°,试确定点P的位置.
分析:(1)以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,求出各点的坐标及对应向量的坐标,易判断
.
PN
.
AM
=0,即PN⊥AM;
(2)平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°,则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为45°,代入向量夹角公式,可以构造一个关于λ的方程,解方程即可求出对应λ值,进而确定出满足条件的点P的位置.
解答:解:精英家教网(1)证明:如图,以AB,AC,AA1分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-xyz.
则P(λ,0,1),N(
1
2
1
2
,0),M(0,1,
1
2
),
从而
PN
=(
1
2
-λ,
1
2
,-1),
AM
=(0,1,
1
2
),
PN
AM
=(
1
2
-λ)×0+
1
2
×1-1×
1
2
=0,所以PN⊥AM.
(2)平面ABC的一个法向量为
n
=
.
AA 1
=(0,0,1).
设平面PMN的一个法向量为
m
=(x,y,z),
由(1)得
.
MP
=(λ,-1,
1
2
).
m
NP
=0
m
MP
=0
(λ-
1
2
)x-
1
2
y+z=0
λx-y+
1
2
z=0.

解得
y=
2λ+1
3
x
z=
2(1-λ)
3
x.
令x=3,得
m
=(3,2λ+1,2(1-λ))

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°,
∴|cos<
m
n
>|=|
m
n
|
m
|•|
n
|
|=
|2(1-λ)|
9+(2λ+1)2+4(1-λ)2
=
2
2

解得λ=-
1
2
.(11分)
故点P在B1A1的延长线上,且|A1P|=
1
2
.(12分)
点评:本题考查的知识点是向量评议表述线线的垂直、平等关系,用空间向量求直线与平面的夹角,用空间向量求平面间的夹角,其中熟练掌握向量夹角公式是解答此类问题的关键.
练习册系列答案
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精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
2
,M,N分别是棱CC1,AB中点.
(Ⅰ)求证:CN⊥平面ABB1A1
(Ⅱ)求证:CN∥平面AMB1
(Ⅲ)求三棱锥B1-AMN的体积.

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精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,且AB⊥AC,M是CC1的中点,N是BC的中点,点P在直线A1B1上,且满足
A1P
A1B1

(1)证明:PN⊥AM;
(2)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角最大值的正切值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分别是CC1,BC的中点,点P在直线A1B1上,且
A1P
A1B1

(Ⅰ)证明:无论λ取何值,总有AM⊥PN;
(Ⅱ)当λ取何值时,直线PN与平面ABC所成的角θ最大?并求该角取最大值时的正切值;
(Ⅲ)是否存在点P,使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°,若存在,试确定点P的位置,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,且A1A⊥底面ABC,D为AB的中点,G为△ABC1的重心,则|
CG
|的值为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,∠ABC=90°,D为AC中点.
(1)求证:BD⊥AC1
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1与平面ABC所成的角.

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