(1)解:由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,
化简得,2sinx(1-cosx)=0,sinx=0或cosx=1,…
解得x=kπ或x=2kπ,k∈Z,
即集合M={x|x=kπ}k∈Z.…
(若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ,k∈Z}的非空子集,扣,以示区别.)
(2)证明:由题意得,a
x+1=a
x+1(a>0且a≠1)…
变形得,a
x(a-1)=1,由于a>0且a≠1,
,…
因为a
x>0,所以
,即a>1.…
(3)解:当-1<x<0,则0<-x<1,由于函数g(x)在(-1,1)上是偶函数
则g(x)=g(-x)=log
2(1-x)
所以当-1<x<1时,g(x)=log
2(1+|x|)…
由于f(x)=x+2与函数g(x)在集合M上“互为H函数”
所以当x∈M,f(g(x)=g(f(x))恒成立,
g(x)+2=g(x+2)对于任意的x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)恒成立,
即g(x+2)-g(x)=2…
所以g[x+2(n-1)+2]-g[x+2(n-1)]=2,
即g(x+2n)-g[x+2(n-1)]=2
所以g(x+2n)=g(x)+2n,
当x∈(2n-1,2n+1)(n∈N)时,x-2n∈(-1,1)g(x-2n)=log
2(1+|x-2n|)…
所以当x∈M时,g(x)=g[(x-2n)+2n]=g(x-2n)+2n=log
2(1+|x-2n|)+2n.…
分析:(1)由f(g(x)=g(f(x)),得2sinx=sin2x,由此能求出集合M.
(2)由题意得,a
x+1=a
x+1(a>0且a≠1),变形得a
x(a-1)=1,由于a>0且a≠1,
,由此能证明a>1.
(3)当-1<x<0,则0<-x<1,由于函数g(x)在(-1,1)上是偶函数,知g(x)=g(-x)=log
2(1-x),由此能求出函数m在集合M上的解析式.
点评:本题考查集合的求法,考查不等式的证明,考查函数的解析式的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.