Question

【题目】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的闰面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．

（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取DE中点N，连接MN，AN

在△EDC中，M、N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN= CD．

由已知AB∥CD，AB= CD，所以MN∥AB，且MN=AB．

所以四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN

又因为AN平面ADEF，

且BM平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF．

（2）解：以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．

B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一个法向量为 =（0，1，0）．

设 =（x，y，z）为平面BEC的一个法向量，因为 =（﹣2，2，0）， =（0，﹣4，2）

∴ 令x=1，得y=1，z=2

所以 =（1，1，2）为平面BEC的一个法向量

设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ

则cosθ= =

所以平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为余弦值为

【解析】（1）取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理，结合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四边形ABMN为平行四边形，所以BM∥AN，再由线面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（2）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BEC与平面ADEF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面平行的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．