Question

【题目】已知椭圆C：（）的左右焦点分别为，，点为短轴的一个端点，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过右焦点，且斜率为k（）的直线l与椭圆C相交于D，E两点，A为椭圆的右顶点，直线，分别交直线于点M，N，线段的中点为P，记直线的斜率为.试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定值

【解析】

（1）由条件求得，可求得椭圆方程；

（2）设过点的直线l方程为：.与椭圆的方程联立求解得，设点，，根据根与系数的关系得，.再得出直线的方程和直线的方程，求得点M和点N的坐标，从而求得点P的坐标，得出直线的斜率，可求得，得解.

（1）由条件可知，，故所求椭圆方程为；

（2）设过点的直线l方程为：.

由可得：，

因为点在椭圆内，所以直线l和椭圆都相交，即恒成立.设点，，

则，.因为直线的方程为：，直线的方程为：，

令，可得，，所以点P的坐标.

直线的斜率为，

所以为定值.