【题目】已知函数,
(Ⅰ)若在上的最大值为,求实数b的值;
(Ⅱ)若对任意x∈[1,e],都有恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设,对任意给定的正实数a,曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?请说明理由.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)存在
【解析】
试题(1)解决类似的问题时,注意区分函数的最值和极值.知道函数的最值时,要先求函数在区间内使的点,再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值,最后比较即得;(2)对于恒成立的问题,常用到以下两个结论:(1),(2);(3)对于是否存在问题先假设存在,如推出矛盾则不存在,若不矛盾则存在
试题解析:(Ⅰ)解:由,得得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f′(x)=0,得x=0或
当x变化时(Ⅰ)若在上的最大值为,求实数b的值列表如下:
x | 0 | |||||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | |
f(x) | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
即最大值为
(2)由,得
且等号不能同时取得,,即
恒成立,即
令,则
当,从而
在上为增函数,
(3)由条件
假设曲线y=F(x)上是否存在两点P、Q满足题意,则P,Q只能在y轴的两侧,不妨设则,是以是坐标原点)为直角顶点的直角三角形,是否存在等价于该方程t>0且是否有根
当时,方程可化为化简得此方程无解;
若时,方程即设,显然,当时,即在上是增函数,值域是,即,所以当时方程总有解,即对于任意正实数a曲线y=F(x)上总存在两点P、Q,使得△POQ是以O(O为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.
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【题目】如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)若点在线段(不包含端点)上,且直线平面,求线段的长.
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【题目】若函数对定义域内的每一个值,在其定义域内都存在唯一的,使成立,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数是否为“依赖函数”,并说明理由;
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”,求的取值范围;
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”.若存在实数,使得对任意的,不等式都成立,求实数的最大值.
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【题目】已知圆的圆心的坐标为,且圆与直线:相切,过点的动直线与圆相交于,两点,直线与直线的交点为.
(1)求圆的标准方程;
(2)求的最小值;
(3)问:是否是定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由年底的下降到年底的,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,年至年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析年至年贫困发生率与年份代码的相关情况,并预测年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(的值保留到小数点后三位)
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【题目】给出下列结论:
①“且为真”是“或为真”的充分不必要条件:②“且为假”是“或为真”的充分不必要条件;③“或为真”是“非为假”的必要不充分条件;④“非为真”是“且为假”的必要不充分条件.
其中,正确的结论是__________.
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【题目】某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分为专业一等奖学金、专业二等奖学金及专业三等奖学金,且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次.图(1)是统计了该校年名学生周课外平均学习时间频率分布直方图,图(2)是这名学生在年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图.
(Ⅰ)求这名学生中获得专业三等奖学金的人数;
(Ⅱ)若周课外平均学习时间超过小时称为“努力型”学生,否则称为“非努力型”学生,列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关?
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【题目】设分别是椭圈的左、右焦点,是椭圆上第二象限内的一点且与轴垂直,直线与椭圆的另一个交点为.
(1)若直线的斜率为,求椭圆的离心率;
(2)若直线与轴的交点为,且求.
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