Question

【题目】某地方政府欲将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AD∥BC，AD⊥AB，AD=2BC=2 百米，AB=3百米，广场入口P在AB上，且AP=2BP，根据规划，过点P铺设两条互相垂直的笔直小路PM、PN（小路宽度不计），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点），△PAM区域拟建为跳舞健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪，设∠APM=θ．
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PN、PN进行不同风格的美化，小路PM的美化费用为每百米1万元，小路PN的美化费用为每百米2万元，试确定点M，N的位置，使得小路PM，PN的总美化费用最低，并求出最低费用．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=3，AP=2BP，∴AP=2，BP=1．

在Rt△PMA中，由 ，得AM=2tanθ，

∴ ，

∵PM⊥PN，∴∠PNB=θ，

在Rt△PNB中，由 ，得 ，

所以 ，

又S梯形ABCD= （ +2 ）×3= ．

∴绿化草坪面积S= ﹣2tanθ﹣ ，

连结PC，PD，

则tanθ的最大值为 = ，tanθ的最小值为 ，

∴ ≤tanθ ，

设tanθ=t，f（t）=2t+ ，则f′（t）=2﹣ ，

∴当t∈[ ， ]时，f′（t）＞0，

∴f（t）在[ ， ]上单调递增，

∴f（t）的最小值为f（ ）= ，

∴S的最大值为 ﹣ = ．

∴绿化草坪面积的最大值为 平方百米

（2）解：在Rt△PMA中，由 ，得 ，

在Rt△PNB中，由 ，得 ，

∴总美化费用为 ，由（1）可知θ∈[ ， ]，

令t=sinθ+cosθ= sin（θ+ ），则t∈[ ， ]， ，

∴ ， ，

∴ 在[ ， ]上单调递减，

∴当t= 时，美化费用y取得最小值4 ．

∴当 ，即 时，即AM=2，BM=1时总美化费用最低为4 万元．

【解析】（1）用θ表示出AM，BN，得出草坪面积S关于tanθ的函数，利用函数单调性求出最大值；（2）用θ表示出PM，PN，得出美化费用y关于θ的函数，利用换元法求出最小值．