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    如果对于函数f（x）的定义域内任意的x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，那么就称函数f（x）是定义域上的“平缓函数”．
    （1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
    （2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
    的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤数学公式成立．
    （3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

    证明：（1）对于任意的x1，x2∈[0，1]，
    有-1≤x1+x2-1≤1，|x1+x2-1|≤1．（2分）
    从而|f（x1）-f（x2）|=|（x12-x1）-（x22-x2）|=|x1-x2||x1+x2-1|≤|x1-x2|．
    ∴函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是“平缓函数”．（4分）
    （2）当|x1-x2|＜时，由已知得|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|＜；（6分）
    当|x1-x2|≥时，因为x1，x2∈[0，1]，不妨设0≤x1＜x2≤1，其中x1-x2≥，
    因为f（0）=f（1），所以：
    |f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|≤|x1-0|+|1-x2|=x1-x2+1≤-+1=．
    故对于任意的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤成立．（10分）
    （3）结合函数f（x）=alnx的图象性质及其在点x=m处的切线斜率，估计a的取值范围是闭区间[-m，m]．（注：只需直
    接给出正确结论）（14分）
    分析：新定义函数类型的题目，解答时要先充分理解定义才能答题，对于（1）只需按照定义作差：|f（x1）-f（x2）|，
    然后寻求条件：|x1+x2-1|≤1．
    （2）的解答稍微复杂一些，此处除了用到放缩外，还有添项减项的技巧应用即对已知条件f（0）=f（1）的充分利用．
    （3）的解答虽有难度，但是不要求证明，难度大大降低，此处可先取定一个m值利用图形的直观性将不难寻求到a的取值范围．
    点评：本题抽象函数、新定义函数类型的概念，不等式的性质，放缩法的技巧，对于新定义类型问题，在解答时要先充分理解定义才能答题，避免盲目下笔，遇到困难才来重头读题，费时费力，另外要在充分抓住定义的基础上，对式子的处理要灵活，各个式子的内在联系要充分挖掘出来，可现有结论向上追溯，看看需要哪些条件才能得出结果，再来寻求转化取得这些条件．
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    （1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”；
    （2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对于任意
    的x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤
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    成立．
    （3）设a、m为实常数，m＞0．若f（x）=alnx是区间[m，+∞）上的“平缓函数”，试估计a的取值范围（用m表示，不必证明）．

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    8、如果对于函数f（x）定义域内任意的两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），且存在两个不相等的自变量值y1，y2，使得f（y1）=f（y2），就称f（x）为定义域上的不严格的增函数，已知函数g（x）的定义域、值域分别为A、B，A=1，2，3，B⊆A，且g（x）为定义域A上的不严格的增函数，那么这样的g（x）共有（　　）

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    （1）判断函数f（x）=x2-x，x∈[0，1]是否是“平缓函数”？
    （2）若函数f（x）是闭区间[0，1]上的“平缓函数”，且f（0）=f（1）．证明：对任意的x，x2∈[0，1]都有|f(x1)-f(x2)|≤
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    ．

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    如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都有f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．定义在[1，e]上的函数f（x）=2x-1+lnx的下确界M=
    1
    1
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．如果对于函数f（x）的所有上界中有一个最小的上界，就称其为函数f（x）的上确界．已知函数f(x)=1+a•(
    1
    2
    )x+(
    1
    4
    )x    ，g(x)=
    1-m•2x
    1+m•2x
    ．
    （1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
    （2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
    （3）若m＞0，求函数g（x）在[0，1]上的上确界T（m）．

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