Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$．则a₁₀=$\frac{1}{1024}$．

Answer 1

分析 根据题意，若数列{a_n}的前n项和为${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①，则有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②；将两式相减可得a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），变形可得a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，利用s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），当n=1时求出a₁的值，分析可得数列{a_n}为等比数列，且可得首项与公比，利用等比数列的通项公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，数列{a_n}的前n项和为${S_n}，{S_n}=\frac{1}{3}（{a_n}-1），（n∈{N^*}）$，①
则有s_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-1）②
①-②可得：a_n=$\frac{1}{3}$（a_n-a_n-1），
变形可得：a_n=-$\frac{1}{2}$a_n-1，
对于s_n=$\frac{1}{3}$（a_n-1），
令n=1可得：s₁=a₁=$\frac{1}{3}$（a₁-1），解可得a₁=-$\frac{1}{2}$；
则数列{a_n}是以a₁=-$\frac{1}{2}$为首项，q=-$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
则a₁₀=a₁×q⁹=$\frac{1}{1024}$；
故答案：$\frac{1}{1024}$．

点评 本题考查数列的递推公式，关键是利用递推关系式求出该数列的通项公式．