Question

（2008•南京二模）如图，半圆的直径AB=2，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是

-

1

2

．

Answer 1

分析：由向量的加法，可得

PA

+

PB

=2

PO

，将其代入(

PA

+

PB

)•

PC

中，变形可得(

PA

+

PB

)•

PC

=-2（|

PO

|-

1

2

）²-

1

2

，由二次函数的性质，计算可得答案．

解答：解：根据题意，O为圆心，即O是AB的中点，则

PA

+

PB

=2

PO

，
则(

PA

+

PB

)•

PC

=2

PO

•

PC

=2|

PO|

•|

PC

|cosπ=-2|

PO

|(1-|

PO

|)=2(|

PO

|-

1

2

)2-

1

2

≥-

1

2

，
即(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值是-

1

2

；
故答案为-

1

2

．

点评：本题考查数量积的运算，关键是根据O是AB的中点，得到

PA

+

PB

=2

PO

，将求(

PA

+

PB

)•

PC

的最小值转化为一元二次函数的最小值问题．