Question

20．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x\\{x^2}\end{array}\right.\;\;\;\begin{array}{l}{（{x≤a}）}\\{（{x＞a}）}\end{array}$，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． a＜0
• B． a＞0且a≠1
• C． a＜1
• D． a＜1且a≠0

Answer 1

分析 根据函数y=x，y=x²的性质，通过讨论a的范围，从而确定a的范围即可．

解答 解：由函数y=x，y=x²的性质知，
当a＜0时，存在实数b，使y=b与y=f（x）=x²，x＞a有两个交点；
当a=0时，f（x）为单调增函数，
不存在实数b，使函数g（x）=f（x）-b有两个零点；
当0＜a＜1时，存在实数b，使y=b与y=f（x）=x²，x＞a有两个交点；
所以a＜1且a≠0，故选D．

点评 本题考查了常见函数的性质，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．