Question

14．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．半圆C（圆心为点C）的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$）．
（Ⅰ）求半圆C的参数方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，其中A（0，-2），点D在半圆C上，且直线CD的倾斜角是直线l倾斜角的2倍，若△ABD的面积为4，求点D的直角坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，代入半圆的极坐标方程，再由同角的平方关系，可得参数方程；
（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，可得直线l的方程为y=xtanα-2，D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．求得|AB|，运用点到直线的距离公式可得D到AB的距离，再由三角形的面积公式，由三角函数的恒等变换，即可得到所求点的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得半圆C的直角坐标方程为x²+y²=2y，
即x²+（y-1）²=1（y＞1），
它的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=1+sinφ\end{array}$，φ为参数且φ∈（0，π）；
（Ⅱ）设直线l的倾斜角为α，
则直线l的方程为y=xtanα-2，
D（cos2α，1+sin2α），2α∈（0，π）．
|AB|=$\sqrt{4+\frac{4}{ta{n}^{2}α}}$=$\frac{2}{sinα}$，
点D到直线l的距离为d=$\frac{|cos2αtanα-2-1-sin2α|}{\sqrt{1+ta{n}^{2}α}}$
=$\frac{|cos2αsinα-3cosα-sin2αcosα|}{\sqrt{co{s}^{2}α+si{n}^{2}α}}$=|-3cosα-sinα|=3cosα+sinα，
由△ABD的面积为4，得4=$\frac{1}{2}$d|AB|=$\frac{3cosα+sinα}{sinα}$=1+3cotα，
可得tanα=1，得α=$\frac{π}{4}$，
故点D为（0，2）．

点评 本题考查极坐标方程和参数方程的互化，考查圆的参数方程的运用，直线方程的运用，点到直线的距离公式，同时考查三角函数的恒等变换的运用，属于中档题．