【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a、b、c,已知向量 =(cosA,cosB),
=(a,2c﹣b),且
∥
.
(1)求角A的大小;
(2)若a=4,求△ABC面积的最大值.
【答案】
(1)解:∵向量 =(cosA,cos B),
=(a,2c﹣b),且
∥
,
∴acosB﹣(2c﹣b)cosA=0,
利用正弦定理化简得:sinAcosB﹣(2sinC﹣sinB)cosA=0,
∴sinAcosB+cosAsinB﹣2sinCcosA=0,即sin(A+B)=sinC=2sinCcosA,
∵sinC≠0,∴cosA= ,
又0<A<π,则A= ;
(2)解:由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得:16=b2+c2﹣bc≥bc,即bc≤16,
当且仅当b=c=4时,上式取等号,
∴S△ABC= bcsinA≤4
,
则△ABC面积的最大值为4 .
【解析】(1)由两向量的坐标及两向量平行,利用平面向量的数量积运算法则列出关系式,再利用正弦定理化简,整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据sinC不为0,求出cosA的值,由A为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数;(2)由a与cosA的值,利用余弦定理列出关系式,整理后利用基本不等式求出bc的最大值,再由bc的最大值与sinA的值即可得到三角形ABC面积的最大值.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握余弦定理:;
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2013年,首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.经气象局统计,北京市从1月1日至1月30日的30天里有26天出现雾霾天气,《环境空气质量指数(AQI)技术规定(试行)》将空气质量指数分为六级,其中,中度污染(四级)指数为151~200;重度污染(五级)指数为201~300;严重污染(六级)指数大于300.下面表1是某观测点记录的4天里AQI指数M与当天的空气水平可见度y(千米)的情况,表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日AQI指数频数的统计结果.
表1
AQI指数M | 900 | 700 | 300 | 100 |
空气可见度y/千米 | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
表2
AQI指数 | [0,200] | (200,400] | (400,600] | (600,800] | (800,1000] |
频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)设变量x=,根据表1的数据,求出y关于x的线性回归方程;
(2)根据表2估计这30天AQI指数的平均值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知恒等式(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n .
(1)求a1+a2+a3+…+a2n和a2+2a3+22a4+…+22n﹣2a2n的值;
(2)当n≥6时,求证: a2+2A
a3+…+22n﹣2
a2n<49n﹣2 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c(a<b<c).已知向量 =(a,c),
=(cosC,cosA)满足
=
(a+c).
(1)求证:a+c=2b;
(2)若2csinA﹣ a=0,且c﹣a=8,求△ABC的面积S.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0)上一点P( ,m)到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.
(1)求抛物线的方程;
(2)若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论.
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