Question

15．已知函数f（x）=2${\;}^{{{（{a-x}）}^k}}}$（a∈R），且f（1）＞f（3），f（2）＞f（3）（　　）

• A． 若k=1，则|a-1|＜|a-2|
• B． 若k=1，则|a-1|＞|a-2|
• C． 若k=2，则|a-1|＜|a-2|
• D． 若k=2，则|a-1|＞|a-2|

Answer 1

分析 分析选项知只需讨论k=1和k=2两种情况，①当k=1时，f（x）在R上单调递减，②当k=2时，f（x）在（-∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，再根据题中条件，确定|a-1|与|a-2|的大小关系．

解答 解：分析各选项，只需讨论k=1和k=2两种情况，
①当k=1时，f（x）=2^a-x，在R上单调递减，
所以，必有f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），
这两个式子对任意的实数a都成立，
因此，A选项和B选项都不能成立；
②当k=2时，f（x）=${2}^{（x-a）^2}$，
f（x）在（-∞，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，
且函数f（x）的图象关于直线x=a轴对称，
又因为f（1）＞f（3），f（2）＞f（3），
结合函数图象可知，对称轴x=a＞$\frac{5}{2}$，
因此，|a-1|＞|a-2|．
故答案为：D．

点评 本题主要考查了指数型复合函数的图象和性质，涉及函数的单调性和图象的对称性，以及函数值大小的比较，属于中档题．