Question

在平行四边形ABCD中，AB=1，AC=

3

，AD=2；线段 PA⊥平行四边形ABCD所在的平面，且PA=2，则异面直线PC与BD所成的角等于

 

（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析：如图，取M为PA的中点，连接MN，MD，可证得角MND即为异面直线PC与BD所成的角在三角形MND中求角即可．

解答：解：如图，取M为PA的中点，连接MN，MD，由于N是中点，故NM∥PC，所以角MND即为异面直线PC与BD所成的角，
由题意AB=1，AC=

3

，AD=2，PA=2
可求得角BAC是直角，故在直角三角形BAN中可解得BN=

7

2

，即ND=

7

2

又由题设条件在直角三角形PAC中可解得PC=

7

，
∴MN=

1

2

PC=

7

2

，
在直角三角形MAD中解得MD=

5

在三角形MND中，cos∠MND=

7 4 + 7 4 - 5

2× 7 2 × 7 2

=-

3

7

则异面直线PC与BD所成的角的余弦值为

3

7

异面直线PC与BD所成的角等于arccos

3

7

若过N作NE⊥DM于E，在直角三角形NED中求角MND的半角的三角函数值，则可得出异面直线PC与BD所成的角等于2arcsin

14

7

故答案为arccos

3

7

或2arcsin

14

7

点评：本题考查在四棱锥这一几何背景下求两个异面直线所成的角，本题用的是几何法求异面直线所成的角，注意做题的步骤，作角，证角，求角，三步缺一不可．本题是个填空题，求出结果就行，自当别论．