Question

20．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（$-\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0），且椭圆C过点P（3，2）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）与直线OP平行的直线交椭圆C于A，B两点，求证：直线PA，PB与y轴围成一个等腰三角形．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，利用椭圆定义求得a，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）求出${k}_{OP}=\frac{2}{3}$，设与直线OP平行的直线方程为y=$\frac{2}{3}x+m$，联立直线和椭圆方程，由根与系数关系求出A，B两点横坐标的和与积，代入两直线的斜率和得答案．

解答 （Ⅰ）解：由题意设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$，
∵椭圆C的两个焦点分别为F₁（$-\sqrt{10}$，0），F₂（$\sqrt{10}$，0），且椭圆C过点P（3，2），
由椭圆定义可得2a=$\sqrt{（3+\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}+\sqrt{（3-\sqrt{10}）^{2}+{2}^{2}}$=$2\sqrt{18}$，即a=$\sqrt{18}$，
∴b²=a²-c²=8，则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1$；
（Ⅱ）证明：∵${k}_{OP}=\frac{2}{3}$，
∴设与直线OP平行的直线方程为y=$\frac{2}{3}x+m$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得8x²+12mx+9m²-72=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{3}{2}m$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-72}{8}$．
设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，
∵${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}+\frac{2-{y}_{2}}{3-{x}_{2}}$=$\frac{（2-\frac{2}{3}{x}_{1}-m）（3-{x}_{2}）+（2-\frac{2}{3}{x}_{2}-m）（3-{x}_{1}）}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$
=$\frac{（m-4）（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{4}{3}{x}_{1}{x}_{2}+12-6m}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}$=$\frac{（m-4）（-\frac{3}{2}m）+\frac{4}{3}•\frac{9{m}^{2}-72}{8}+12-6m}{（3-{x}_{1}）（3-{x}_{2}）}=0$．
∴直线PA，PB与y轴围成一个等腰三角形．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形的证明，训练了根与系数的关系的应用，考查计算能力，是中档题．