Question

【题目】随着现代电子技术的迅猛发展，关于元件和系统可靠性的研究已发展成为一门新的学科——可靠性理论．在可靠性理论中，一个元件正常工作的概率称为该元件的可靠性．元件组成系统，系统正常工作的概率称为该系统的可靠性．现有（，）种电子元件，每种2个，每个元件的可靠性均为（）．当某元件不能正常工作时，该元件在电路中将形成断路．现要用这个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作．

（1）（i）分别写出按方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、（用和表示）；

（ii）比较与的大小，说明哪种连接方案更稳定可靠；

（2）设，，已知按方案②建立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数为，求随机变量的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】（1）（i），（ii），按方案②建立的电路系统更稳定可靠．（2）见解析，

【解析】

（1）（i）利用对立事件的概率公式计算，个元件串联通路的概率是，而个元件并联时不通的概率是，由此可计算可计算方案①和方案②建立的电路系统的可靠性、；（ii）作差后构造函数，利用导数可得其单调性从而得与的大小，得出结论；

（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，元件损坏的概率是条件概率，可计算编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为，由此可知，，依次计算出各概率，得分布列，再由二项分布计算出期望．

解：（1）（i）按方案①建立的电路系统的可靠性；

按方案②建立的电路系统的可靠性为；

（ii）．

令，且，则．

当时，，从而，所以在上单调递增；

当时，，即．

所以，，按方案②建立的电路系统更稳定可靠．

（2）在方案②电路系统可以正常工作的条件下，编号相同的两个并联元件中至多有一个损坏，且有一个损坏的条件概率为，由此可知，．

，，，

，；

所以，随机变量的分布列为

	0	1	2	3	4

．