Question

12．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对于x∈R，都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，当x₁，x₂∈[0，2]且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，给出下列四个命题：
①f（-2）=0；
②直线x=-4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[4，6]上为增函数；
④函数y=f（x）在（-8，6]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为①②④．

Answer 1

分析 ①令x=-2，可得f（-2）=0，从而可判断①；
②由（1）知f（x+4）=f （x），所以f（x）的周期为4，再利用f（x）是R上的偶函数，根据函数对称性从而可判断②；
③依题意知，函数y=f（x）在[0，2]上为减函数结合函数的周期性，从而可判断③；
④由题意可知，y作出函数在（-8，6]上有的图象，从而可判断④．

解答 解：①：对于任意x∈R，都有f（x+4）=f （x）+f （2）成立，令x=-2，则f（-2+4）=f（-2）+f （2）=f（2），
即f（-2）=0，即①正确；
②：由（1）知f（x+4）=f （x），则f（x）的周期为4，
又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x+4）=f（-x），
而f（x）的周期为4，则f（x+4）=f（-4+x），f（-x）=f（-x-4），
∴f（-4-x）=f（-4+x），
则直线x=-4是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，即②正确；
③：当x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂时，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0，
∴函数y=f（x）在[0，2]上为减函数，
而f（x）的周期为4，
∴函数y=f（x）在[4，6]上为减函数，故③错误；
④：∵f（2）=0，f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[0，2]上为增函数，
在[-2，0]上为减函数，
∴作出函数在（-8，6]上的图象如图：
则函数y=f（x）在（-8，6]上有4个零点，故④正确．
故答案为．①②④

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的奇偶性、周期性、对称性及零点的确定的综合应用，属于难题．