Question

讨论函数y=ax²-2（3a+1）x+3在[-3，3]上的单调性．

Answer 1

【答案】分析：先对字母a的取值进行分类讨论：：①当a=0时；②当a＞0时；③当a＜0时．再针对二次函数图象，找对称轴，利用开口向上（或向下）的二次函数在对称轴右边递增（减），左边递减（增）即可研究其单调性．
解答：解：①当a=0时，y=-2x+3，是一次函数，在[-3，3]上单调递减；
②当a＞0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+＞3，开口向上的抛物线，
所以在[-3，3]上是减函数；
③当a＜0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+＜3，开口向下的抛物线，
（i）当-≤a＜0时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+≤-3，开口向下的抛物线，
所以在[-3，3]上是减函数；
（ii）当a＜-时，函数y=ax²-2（3a+1）x+3的图象是对称轴为x=3+∈[-3，3]，开口向下的抛物线，
所以在[-3，3+]上是增函数；在（3+，3]上是减函数；
综上，a≥时，在[-3，3]上是减函数；当a＜-时，在[-3，3+）上是增函数；在（3+，3]上是减函数．
点评：本题主要考查了二次函数的单调性，二次函数的单调区间有对称轴和开口方向二者决定，开口向上的二次函数在对称轴右边递增，左边递减；开口向下的二次函数在对称轴左边递增，右边递减．