Question

（1）用分析法证明：

3

-

2

＞

6

-

5

（2）已知a＞0，b＞0且a+b＞2，求证：

1+b

a

，

1+a

b

中至少有一个小于2．

Answer 1

考点：不等式的证明,反证法与放缩法

专题：证明题,分析法,反证法

分析：（Ⅰ）利用分析法，和两边平方法，即可证明结论；
（Ⅱ）利用了反证法，假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，推得a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．

解答： 证明：（1）要证：

3

-

2

＞

6

-

5

，
即证：

3

+

5

＞

2

+

6

，
即证：(

3

+

5

)2＞(

2

+

6

)2，
即证：8+2

15

＞8+2

12

，
即证：

15

＞

12

，
即证：15＞12．
而15＞12显然成立，
所以：

3

-

2

＞

6

-

5

---------------（6分）
（2）证明：假设

1+b

a

，

1+a

b

都不小于2，则

1+b

a

≥2，

1+a

b

≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2，
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立．…（12分）

点评：本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法，属于中档题．