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已知an=log(n+1)(n+2),(n∈N*),若称使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n为劣数,则在区间(1,2010)内所有劣数的和为(  )
分析:由题意,及对数的换底公式知,a1•a2•a3…an=log2(n+2),由此知,劣数+2必为2的整数次幂,由此易得出劣数表达式,此区间(1,2010)内所有劣数的和是一个数列求和问题,由此计算出值选出正确答案
解答:解:由题意an=log(n+1)(n+2),(n∈N*),若称使乘积a1•a2•a3…an为整数的数n为劣数且a1•a2•a3…an=log2(n+2)
故劣数n=2k-2,故最小的劣数为2=22-2,令n=2k-2<2010,
由于210-2=1022,211-2=2046
故最大的劣数为210-2
∴(1,2010)内所有劣数的和为22-2+23-2+24-2+…+210-2=
22×(1-29)
1-2
-18=211-22=2026
故选A
点评:本题考查数列的求和,正确理解劣数定义,找出区间(1,2010)内所有劣数,以及熟练掌握数列求和的技巧分组求和是求解本题的关键,本题中难点是理解劣数的定义,由此定义得出劣数的结构,将求和的问题转化为数列求和的问题.
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