Question

已知斜率为1的直线l与双曲线C：（a＞0，b＞0）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）。
（1）求C的离心率；
（2）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。

Answer 1

解：（1）由题设知，l的方程为y=x+2，代人C的方程，并化简，得
设
则  ①
由M（1，3）为BD的中点知
，故，即  ②
故
所以C的离心率；
（2）由①、②知，C的方程为3x²-y²=3a²，
A（a，0），F（2a，0），
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a



又|BF|·|FD|=17
故5a²+4a+8=17
解得a=1或（舍去）
故

连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆心，MA为半径的圆经过A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。