Question

(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分．
　　已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点满足．
(1) 求动点所在曲线的轨迹方程；
(2)(理科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足，又点关于原点O的对称点为点，试问四点是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由．
(文科)过点作斜率为的直线交曲线于两点，且满足(O为坐标原点)，试判断点是否在曲线上，并说明理由．

Answer 1

解(1)依据题意，有．
∵，
∴．
∴动点P所在曲线C的轨迹方程是．
(2)(理科)因直线过点，且斜率为，
故有．联立方程组，得．
设两曲线的交点为、，可算得．
又，点与点关于原点对称，
于是，可得点、．
若线段、的中垂线分别为和，则有，．
联立方程组，解得和的交点为．
因此，可算得，
　　　　　　．
所以，四点共圆，圆心坐标为，半径为．

略