Question

如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别输入正整数m，n时，输出结果记为f（m，n），且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则f（1，1）=1；②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比原来增大3；③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来3倍．试求：
（1）f（m，1）的表达式（m∈N）；
（2）f（m，n）的表达式（m，n∈N）；
（3）若Ⅰ，Ⅱ都输入正整数n，则输出结果f（n，n）能否为2006？若能，求出相应的n；若不能，则请说明理由．

Answer 1

解：（1）f（m，1）=3f（m-1，1）=3²f（m-2，1）═3^m-1f（1，1）=3^m-1，
（2），f（m，n）=f（m，n-1）+3=f（m，n-2）+3×2═f（m，1）+3（n-1）=3^m-1+3（n-1），
（3）f（n，n）=3^n-1+3（n-1），∵f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，
∴f（n，n）输出结果不可能为：2006．
分析：（1）仔细审题，按照题设条件一步一步地进行转换，能够导出f（m，1）的表达式（m∈N）．
（2）先由题设条件把f（m，n）转化为f（m，1）+3（n-1），从而得到其结果．
（3）由f（7，7）=3⁶+18=747＜2006，f（8，8）=3⁷+21=2208＞2006，知f（n，n）输出结果不可能为2006．
点评：本题考查数列的递推式，题目比较新颖，解题的关键环节是认真审题，真正地理解题意．