Question

（2012•宝鸡模拟）已知向量

OP

=(x，y)，

OQ

=(y，2)，曲线C上的点满足：

OP

•

OQ

=2x．点M（x_k，x_k+1）在曲线C上，且x_k≠0，x₁=1，数列{a_n}满足：ak=

1

xk

，(k，n∈N+)．
（1）求数列{a_n}通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=7-2a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由数量积可得可得xy+2y=2x，把点M（x_k，x_k+1）代入曲线C，且x_k≠0，可得xk+1=

2xk

xk+2

，取倒数

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

，即ak+1=ak+

1

2

，a₁=1．
因此数列{a_n}是等差数列，即可得出其通项公式；
（2）分n≤6和n＞6时分别利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）由题意可得xy+2y=2x，∴曲线C的方程为y=

2x

x+2

（x≠-2）．
∵点M（x_k，x_k+1）在曲线C上，且x_k≠0，∴xk+1=

2xk

xk+2

，
∴

1

xk+1

=

1

xk

+

1

2

，
∴ak+1=ak+

1

2

，a₁=1．
∴数列{a_n}是等差数列，
∴an=1+(n-1)×

1

2

=

n+1

2

．
（2）b_n=7-2a_n=6-n．
当n≤6时，Tn=

n(5+6-n)

2

=

n(11-n)

2

；
当n＞6时，Tn=15+

1

2

(n-6)(1+n-6)=

1

2

(n2-11n+60)．
∴Tn=

n(11-n) 2 ，n≤6 n2-11n+60 2 ，n＞6

．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式、数量积运算等是解题的关键．