Question

已知函数，．
（Ⅰ）设（其中是的导函数），求的最大值；
（Ⅱ）求证:当时，有；
（Ⅲ）设,当时,不等式恒成立，求的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）取得最大值；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）整数的最大值是.

试题分析：(Ⅰ)通过求的导函数处理函数的单调性，从而确定在时，取得最大值；（Ⅱ）由(Ⅰ)可知当时，，从而有．（Ⅲ）先由当时,不等式恒成立转化为对任意恒成立,设，通过导函数求出的单调性从而得出，整数的最大值是.
试题解析：(Ⅰ),所以 ．  
当时，；当时，．
因此，在上单调递增，在上单调递减．
因此，当时，取得最大值；                 3分
（Ⅱ）当时，．由（1）知：当时，，即．
因此，有．      7分
（Ⅲ）不等式化为所以
对任意恒成立．令，
则，令，则，
所以函数在上单调递增．因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．故整数的最大值是.        13分