Question

8．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=$\sqrt{2}$，A₁B=2．
（1）如果D为AB的中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．
（2）求证：BC⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

分析 （1）连结A₁C，交AC₁于O，连结DO，推导出OD∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面A₁CD．
（2）推导出BC⊥A₁C，AA₁⊥BC，由此能证明BC⊥平面ACC₁A₁．

解答 证明：（1）连结A₁C，交AC₁于O，连结DO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，ACC₁A₁是平行四边形，∴O是AC₁的中点，
∵D为AB的中点，∴OD∥BC₁，
∵BC₁?平面A₁CD，OD?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD．
（2）在△A₁AC中，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=$\sqrt{2}$，∴${A}_{1}C=\sqrt{2}$，
∴△A₁BC中，BC=$\sqrt{2}$，${A}_{1}C=\sqrt{2}$，A₁B=2，
∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，∴BC⊥平面ACC₁A₁．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养产．