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如图(1),边长为2的正方形ABEF中,D,C分别为EF,AF上的点,且ED=CF,现沿DC把△CDF剪切、拼接成如图(2)的图形,再将△BEC,△CDF,△ABD沿BC,CD,BD折起,使E,F,A三点重合于点A′.
(1)求证:BA′⊥CD;
(2)求四面体B-A′CD体积的最大值.

(1)证明:折叠前,BE⊥EC,BA⊥AD,折叠后BA′⊥A′C,BA′⊥A′D,
又A′C∩A′D=A′,
所以BA′⊥平面A′CD,
因为CD?平面A′CD,
因此BA′⊥CD.(4分)
(2)解:设A′C=x(0<x<2),则A′D=2-x.因此S△A′CD=x(2-x).(8分)
∴VB-A′CD=S△A′CD==
所以当x=1时,四面体B-A′CD体积的最大值为.(12分)
分析:(1)通过折叠前与折叠后直线与直线的垂直,证明BA′⊥平面A′CD,然后证明BA′⊥CD.
(2)设A′C=x(0<x<2),得到A′D=2-x.求出S△A′CD=x(2-x).然后推出VB-A′CD的表达式,利用二次函数求出体积最大值.
点评:本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用,几何体的体积的求法,考查逻辑推理能力与计算能力.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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(1)求证:BA′⊥CD;
(2)求四面体B-A′CD体积的最大值.

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(1)求证:BA′⊥CD;
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年河北省衡水中学高一(上)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

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