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    在△ABC中，点D在BC上，设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ．
    （1）若BD=2DC，求
    BD
    （用
    a
    ，
    b
    表示）；
    （2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，AD⊥BC，
    BD
    =λ
    BC
    求实数λ的值．
    分析：（1）利用向量的线性运算，化简可得结论；
    （2）
    BD
    =λ
    BC
    ，可得
    BC
    •
    BD
    =λ
    BC
    2，进而可得λ=
    a
    2    -
    b
    •
    a
    b
    2    -2
    b
    •
    a
    +
    a
    2
    ，从而可求实数λ的值．
    解答：解：（1）由题意，
    AD
    =
    AB
    +
    BD
    =
    AB
    +
    2
    3
    BC
    =
    AB
    +
    2
    3
    (
    AC
    -
    AB
    )    =
    1
    3
    AB
    +
    2
    3
    AC
    =
    1
    3
    a
    +
    2
    3
    b
    ；
    （2）∵
    BD
    =λ
    BC
    ，∴
    BC
    •
    BD
    =λ
    BC
    2，
    ∴
    BC
    •（
    AD
    -
    AB
    ）=λ
    BC
    2，
    ∵AD⊥BC，∴-
    BC
    •
    AB
    =λ(
    AC
    -
    AB
    )2
    ∴-(
    AC
    -
    AB
    )•
    AB
    =λ(
    AC
    -
    AB
    )    2
    ∴
    a
    2    -
    b
    •
    a
    =λ(
    b
    2    -2
    b
    •
    a
    +
    a
    2    )
    ∴λ=
    a
    2    -
    b
    •
    a
    b
    2    -2
    b
    •
    a
    +
    a
    2

    ∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，
    ∴λ=
    4-2cos120°
    1-2×2×cos120°+4
    =
    5
    7
    ．
    点评：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，点D在BC上（不含端点），且
    CD
    =r
    AB
    +s
    AC
    ，则r+s=
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•广州模拟）如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD=33，sin∠BAD=
    5
    13
    ，cos∠ADC=
    3
    5
    ．
    （1）求sin∠ABD的值；
    （2）求BD的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，点D在BC边上，且
    CD
    =2
    CB
    ，
    CD
    =r
    AB
    +s
    AC
    ，则r+s的值是（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD=2BD；点E在AC上，且AE=3EC．AD与BE的交点为F．若设
    AB
    =
    a
    ，
    AC
    =
    b
    ，
    AF
    =λ
    AD
    ，于是可得出：
    BE
    =-
    a
    +
    3
    4
    b
    ，
    BF
    =
    AF
    -
    AB
    =λ
    AD
    -
    AB
    =λ(
    AB
    +
    BD
    )-
    AB
    =…    ，于是由
    BE
    ∥
    BF
    ，可求出λ=
    9
    10
    9
    10
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且
    BC
    =
    CD
    ，点O在线段CD上（与点C，D不重合）若
    AO
    =λ
    AB
    +(1-λ)
    AC
    ，则λ的取值范围（　　）
    A、（0，1）
    B、(0，
    1
    3
    )
    C、（-1，0）
    D、(-
    1
    3
    ，0)

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