Question

13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.2sin²$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，且c=$\sqrt{3}$，则△ABC面积S的取值范围为（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

Answer 1

分析 由题意和三角函数公式可得C=120°，再由余弦定理和基本不等式可得ab的范围，再由三角形的面积公式可得．

解答 解：∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=1+cos2C，∴1-cos（A+B）=1+cos2C，
∴1+cosC=1+cos2C，∴cosC=2cos²C-1，
解得cosC=$-\frac{1}{2}$或cosC=1，
∵C为三角形内角，∴cosC=$-\frac{1}{2}$，∴C=120°，
∴由余弦定理可得3=a²+b²-2abcosC=a²+b²+ab，
由基本不等式可得3=a²+b²+ab≥2ab+ab=3ab，
∴ab≤1，当且仅当a=b时取等号，
∴△ABC面积S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及解三角形和基本不等式，属中档题．