Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（0，1），Q（0，2）．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上．

Answer 1

（1）由题意，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，∴b=

2

2

=

2

．
因为离心率e=

c

a

=

3

2

，所以

b

a

=

1

2

，所以a=2

2

．
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）证明：由题意可设M，N的坐标分别为（x₀，y₀），（-x₀，y₀），则直线PM的方程为y=

y0-1

x0

x+1，①
直线QN的方程为y=

y0-2

-x0

x+2．②…（8分）
设T（x，y），联立①②解得x₀=

x

2y-3

，y₀=

3y-4

2y-3

．…（11分）
因为

x02

8

+

y02

2

=1，所以

1

8

（

x

2y-3

）²+

1

2

（

3y-4

2y-3

）²=1．
整理得

x2

8

+

(3y-4)2

2

=（2y-3）²，所以

x2

8

+

9y2

2

-12y+8=4y²-12y+9，即

x2

8

+

y2

2

=1．
所以点T坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．…（14分）