Question

17．若a+2，a+3，a+4是钝角三角形的三边长，则a的取值范围是（-1，1）．

Answer 1

分析 由题意推出三角形的最大边，由三边关系和余弦定理，列出满足钝角三角形的关系式 $\left\{\begin{array}{l}{a+2+a+3＞a+4}\\{（a+2）^{2}+（a+3）^{2}＜（a+4）^{2}}\end{array}\right.$，解出a的范围即可．

解答 解：∵钝角三角形的三边a+2，a+3，a+4，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a+2+a+3＞a+4}\\{（a+2）^{2}+（a+3）^{2}＜（a+4）^{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{{a}^{2}+2a-3＜0}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{-3＜a＜1}\end{array}\right.$，
∴-1＜a＜1，
故答案为：（-1，1）．

点评 本题考查了余弦定理的运用和三角形三边关系，属于中档题，关键是掌握三角形任意两边之和大于第三边．