Question

（2009•金山区一模）下列说法错误的是（　　）

• A．若z∈C，则|z|=1的充要条件是

  .

  z

  =

  1

  z

• B．若z=sinθ+icosθ（其中0＜θ＜

  π

  2

  ），则（

  1-z

  1+z

  ）²＜0
• C．若方程x²+bx+c=0的系数不都是实数，则此方程必有虚数根
• D．复数（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件是a、b∈R，且a=b

Answer 1

分析：对各个选项逐个加以判断：根据复数性质z•

.

z

=|z| 2，说明A选项不错；根据复数运算法则进行推导，可由z=sinθ+
icosθ（其中0＜θ＜

π

2

），推出（

1-z

1+z

）²＜0，说明B选项不错；根据复系数一元二次方程必定有虚数根据的定理，可知C选项也不错．A、B、C都不错，很容易就有找出D选项的反例，因此不难选出正确答案了．

解答：解：对于A：根据复数的共轭的性质z•

.

z

=|z| 2，得到|z|=1⇒z•

.

z

=1⇒

.

z

=

1

z

，故A正确；
对于B，因为z=sinθ+icosθ，所以

1-z

1+z

=

1-sinθ-icosθ

1+sinθ+icosθ

=

-icosθ

1+sinθ

得出：（

1-z

1+z

）²=(

-icosθ

1+sinθ

)  2=

-cos 2θ

(1+sinθ)2

∵0＜θ＜

π

2

，∴cosθ∈（0，1）；∴（

1-z

1+z

）²＜0，故B正确；
对于C：若方程x²+bx+c=0的系数不都是实数，根据复数相等的含义，不管哪一项系数为虚数，必定要有虚数根与这个系数相乘，才能使结果为零而不含虚数单位i，所以方程必定有虚数根即方程的两个根不可能都是实数，C也正确；
对于D：复数（a-b）+（a+b）i为纯虚数的充要条件是a、b∈R，且a=b，很明显是错误的，因为当a=b=0时，复数（a-b）+（a+b）i不是虚数，故D选项是错误的
故选D

点评：本题以复数为例，考查了充分条件与必要条件的判断，属于中档题．熟记复数的运算法则与运算性质，是解决好本题的关键所在．